stay通常表示短期居住；live用一般现在时通常指长期居住(家在某处)；live with是寄住在某人处，与某人同住或同居；be living是暂住。

• Why don't you stay with us when you visit London next time?
  你下次来伦敦时为什么不和我们住在一起呢？
• Grandma said she would like to stay with my aunt.
  祖母说她愿与我姑妈住在一起。
• Where do you live ?
  你住在哪儿？
• We have lived here since I was a child.
  从我是个孩童时候起，我们就住在这儿。
• Grandpa is living in Beijing with my uncle.
  祖父跟我叔叔住在北京。